Geboren in Parijs uit Russische ouders in 1928 bracht hij zijn jeugd door in Milaan alvorens terug te keren naar de Franse hoofdstad en zich uiteindelijk te vestigen in de Verenigde Staten. In 1948 ontmoette hij Steichen, Robert Capa en Roy Stryker in New York, en het was Capa die hem uitgenodigde om zich aan te sluiten bij het Magnum Photos Agentschap in 1953. Sindsdien is Elliott lid van de prestigieuze groep, waar hij regelmatig de rol van president vervult.
In 1970 begon hij met het produceren van films en produceerde een totaal van 17 in zijn carrière, met inbegrip van documentaires, komedies en een satire. Hij organiseert solotentoonstellingen in Amerika, Parijs, Madrid en Londen. In de loop van zijn carrière publiceerde hij meer dan 20 boeken.
